Variance et écart-type

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

En bref

La variance quantifie la dispersion autour de la moyenne

Définition

Définition :
Si \(X\) a un moment d'ordre \(2\), sa variance est : $${{\operatorname{Var}(X)}}={{E((X-E(X))^2)}}={{E(X^2)-E(X)^2}}$$
son écart-type est \({{\sigma(X)}}={{\sqrt{\operatorname{Var}(X)} }}\)

(Moment, Espérance)

Consigne: Montrer que $$E((X-E(X))^2)=E(X^2)-E(X)^2$$

Existence des moments
\(E(X^2)\) existe, donc \(X\) a un moment d'ordre \(1\), donc \(m=E(X)\) existe

Développer \(\to\) linéarité de l'espérance

$$\begin{align} E((X-m)^2)&=E(X^2-2mX+m^2)\\ &=E(X^2)-2m E(X)+m^2\\ &=E(X^2)-m^2\end{align}$$

(Espérance (Linéarité))

Propriétés

Homogénéité

$$\forall a\in{\Bbb R},\qquad{{\operatorname{Var} (aX)}}={{a^2\operatorname{Var}(X)}}$$

Consigne: Montrer que $$\forall a\in{\Bbb R},\qquad{{\operatorname{Var} (aX)}}={{a^2\operatorname{Var}(X)}}$$

Développer

$$\begin{align}\operatorname{Var}(aX)&=E(((aX-E(aX))^2)\\ &=E(a^2(X-E(X))^2)\\ &=a^2\operatorname{Var}(X)\end{align}$$

Ajouter une constante ne fait rien

$$\forall b\in{\Bbb R},\qquad\operatorname{Var}({{X+b}})={{\operatorname{Var}(X)}}$$

Consigne: Montrer que $$\forall b\in{\Bbb R},\qquad\operatorname{Var}(X+b)=\operatorname{Var}(X)$$

Développer

$$\begin{align}\operatorname{Var}(X+b)&=E((X+b-E(X+b))^2)\\ &=E((X-E(X))^2)\\ &=\operatorname{Var}(X)\end{align}$$

Cas de la variance nulle

$$\operatorname{Var}(X)={{0}}\iff {{X\sim\delta_{E(X)} }}$$

(Pic de Dirac - Fonction de Dirac)

Consigne: Montrer que $$\operatorname{Var}(X)=0\iff X\sim\delta_{E(X)}$$

\(\implies\)
$$X\sim\delta_c\implies E(X)=c\quad\text{ et }\quad\operatorname{Var}(X)=(c-c)^2P(X=c)=0$$

\(\impliedby\)

Si \(\operatorname{Var}(X)=0\), alors $$\operatorname{Var}(X)=\sum_{x_k\in X(\Omega)}\underbrace{(X_k-E(X))^2P(X=x_k)}_{\geqslant0\text{ donc termes sont tous nuls}}=0$$
Donc si \(x_k\ne E(X),P(X=x_k)=0\) et si \(x=E(X),P(X=x_k)=1\) car la somme des probas vaut \(1\)

Formule d'addition

Si les v.a. \(X\) et \(Y\) ont toutes les deux un moment d'ordre \(2\), $${{\operatorname{Var}(X+Y)}}={{\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)}}$$

Si \(X_1,\dots,X_n\) ont toutes un moment d'ordre \(2\) : $${{\operatorname{Var}\left(\sum^n_{i=1}X_i\right)}}={{\sum^n_{i=1}\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)}}$$

(Covariance et Coefficient de corrélation)

Si \(X_1,\dots,X_n\) ont toutes un moment d'ordre \(2\) et sont indépendantes, alors $${{\operatorname{Var}\left(\sum^n_{i=1}X_i\right)}}={{\sum^n_{i=1}\operatorname{Var}(X_i)}}$$

Consigne: Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(E(X)=1\) et \(\operatorname{Var}(X)=5\)
Trouver la variance $$\operatorname{Var}(4-3X)$$

Propriétés de la variance

$$\operatorname{Var}(4-3X)=\operatorname{Var}(-3X)=9\operatorname{Var}(X)=45$$